ADIMENSIONAMIENTO Y ESCALAMIENTO DE BIOPROCESOS

ADIMENSIONAMIENTO Y ESCALAMIENTO DE BIOPROCESOS INDUSTRIALES

R. ACUÑA

INTRODUCCIÓN

El proceso de diseño consta de una parte teórica que trata de la descripción de los fenómenos físicos, químicos y biológicos que ocurren durante el proceso; para su control y manejo; esta parte se conoce como modelización del bioproceso. Otra parte, que hemos estudiado poco, trata del dimensionamiento de la variables y parámetros físicos, químicos y biológicos que intervienen en el diseño de un modelo o prototipo de un bioproceso dado, para que éste sea asequible a un cambio de escala; por lo general a un mayor tamaño que el diseño prototipo, pero también puede ser a menor tamaño (escala). Esto se conoce como dimensionamiento y escalamiento de variables. Como para poder utilizar dos escalas diferentes hace falta un factor de conversión o de escala, para interconvertir los valores entre ambas escalas; se hace necesario que los parámetros y variables utilizados, no tengan unidades dimensionales; es decir, sean adimensionales; de lo contrario, se deberá introducir un factor adicional de conversión de unidades, que muy probablemente alteraría la linealidad de la conversión, si las unidades paramétricas están en diferentes sistemas; por ejemplo: ingles e internacional.

FACTOR DE ESCALA

El factor de escala es simplemente una medida intuitiva del tamaño del sistema o bioproceso; típicamente se definen: pequeña escala, mediana escala y gran escala. La escala es relativa al bioproceso que se realice, por ejemplo, no es lo mismo realizar un bioproceso de cultivo in Vitro de tejidos animal o vegetal, que una fermentación alcohólica o un proceso de biorremediación in situ. No se puede decir que sean de pequeña, mediana y gran escala; sino que, cada uno de ellos, se puede situar en cualquiera de las escalas, dependiendo del volumen relativo del bioproceso. Tomando como ejemplo el cultivo in Vitro de una línea celular: pequeña escala es la placa de Petri o el tubo de ensayo; mediana escala es el balón de cultivo o el horno cultivador; y gran escala es el bioreactor o un cuarto de cultivo especialmente acondicionado para ese propósito.

VARIABLES ADIMENSIONALES

Como su nombre lo indica son variables o parámetros que “no tienen dimensiones”; pero eso no significa que no tengan unidades; significa que es una razón de dos variables diferentes, pero con las mismas unidades, por lo cuál, éstas se cancelan mutuamente. Ejemplo: sea H la relación entre la altura de líquido o nivel (hl) dentro de un bioreactor y la altura del bioreactor (hb); ambas en metros (m): H = hl/ hb como se observa H no tiene unidades. La relación H es un parámetro de diseño que se debe conservar cuando se cambia de escala, del modelo prototipo al producto final.

DISEÑO POR SIMILITUD

La modelización del comportamiento de un bioproceso industrial se hace en base al diseño por similitud; que se fundamenta en los balances macroscópicos de los componentes del sistema. Para analizar la similitud entre el modelo y el prototipo, es necesario contar con datos experimentales. Pero, primero recordemos que el modelo es el diseño a menor escala y el prototipo el diseño a mayor escala. Se diseña el modelo para poder “ensayar” con él el funcionamiento y luego “comprobar” en el prototipo que dicho funcionamiento sea el correcto y el deseado; es decir, que el “cambio de escala” no afecte el comportamiento observado en el modelo y que su “similitud” con el prototipo, no sea más allá del “esperado” por el “error” intrínseco del diseño.

Para realizar el cambio de escala se debe contar con funciones que vinculen las variables dependientes e independientes, tanto en el modelo, con en el prototipo; es decir, debemos tener ya determinadas las ecuaciones y parámetros de diseño del modelo y su representación en variables adimensionales para “escalar” el prototipo.

"La clave de esta metodología consiste en proponer las funciones por definición y luego analizar que requisitos deben cumplirse para que las funciones definidas sean válidas."

El truco, por decirlo así, en “dimensionar” una función o variable para luego tornarla adimensional, consiste en definir la función que luego utilizaremos, la más simple posible; es decir, como una ecuación lineal y homogénea (sin término independiente): XM = λXP Donde X_M y X_P representan una misma variable en el modelo y el prototipo y λ es el factor de escala para dicha variable. Entonces, matemáticamente existe similitud entre modelo y prototipo: cuando conociendo una variable en el modelo, es posible calcular el valor de esa misma variable, en el prototipo, utilizando una ecuación lineal y homogénea.

Tipos de Similitud: existen 3 tipos de similitud que deben ser analizados para proceder a “escalar” un prototipo, a partir de un modelo: Similitud Geométrica, Similitud Temporal y Similitud de Comportamiento.

SIMILITUD GEOMÉTRICA

Sea el sistema "1" el “modelo” y el sistema "2" el “modelo” Para que el sistema "2" sea geométricamente similar con el sistema "1", cada punto de "2" se deberá obtener un sistema de matrices lineal, aplicando a cada punto de "1" las ecuaciones:

X2 = λx⋅X1

Y2 = λy⋅Y1

Z2 = λz⋅Z1

Donde: λ_x, λ_y y λ_z son los factores de escala geométricos o constantes. Geométricamente, cada par de puntos relacionados entre sí por un factor de escala, se dice que son: "puntos correspondientes" entre sí. Entonces: “dos sistemas son geométricamente similares cuando cada punto de un sistema tiene un punto correspondiente en el otro sistema”. Es decir, dos sistemas son geométricamente similares si todos sus puntos son correspondientes. Dado que existen tres ejes coordenados, existen tres vectores de dirección (x,y,z).

_– Existe similitud geométrica total si: λ_x = λ_y = λ_{z .}

– Si alguno de los tres factores de escala es diferente se dice que la similitud es distorsionada.

PLANTEAMIENTO PARA ESCALAMIENTO (Adimensional)

El planteamiento para escalamiento de la similitud dimensional requiere:

1- Escribir las ecuaciones de una forma útil a nuestro propósito, pensando en crear una variable adimensional.

2- Para ello se considera como variable de referencia en el modelo, una longitud característica del cuerpo.

Por ejemplo, utilizando como longitud característica del cuerpo, su lado L. De acuerdo con la definición de similitud debe cumplirse: L2 = λl⋅L1 Como tenemos similitud geométrica: λ_x = λ_y = λ_z = λ_l Entonces el sistema de matrices lineal homogéneo que obtenemos es:

X2/X1 = L2/L1 = λl

Y2/Y1 = L2/L1 = λl

Z2/Z1 = L2/L1 = λl

Reordenado:

X2/L2 = X1/L1 => X2* = X1* = variable adimensional

Y2/L2 = Y1/L1 => Y2* = Y1* = variable adimensional

Z2/L2 = Z1/L1 => Z2* = Z1* = variable adimensional

Adaptando este procedimiento al elemento geométrico de longitud característica del cuerpo que deseamos, se establecen o definen variables adimensionales de diseño, según las “necesidades” específicas del diseñador.

SIMILITUD TEMPORAL

El planteamiento para establecer una similitud temporal es exactamente el mismo que el utilizado para una geométrica, excepto que la variable dimensional es el tiempo y no la longitud: t2 = λt⋅t1 donde t₁ y t₂ son los respectivos tiempos genéricos en el sistema 1 (modelo) y en el sistema 2 (prototipo) y λ_t es un factor de escala temporal constante. Ídem, para establecer una variable adimensional temporal, debemos eligir dos tiempos característicos: T₁ y T₂ en ambos sistemas: t2/T1 = t1/T1 => t2* = t1* = variable adimensional. En este caso existe un único vector dimensional cuya variable independiente es el tiempo y se establece que dos sistemas son temporalmente similares si todos sus eventos ocurren a iguales tiempos adimensionales.

SIMILITUD DE COMPORTAMIENTO

Para cualquier otra variable física que deba establecer como variable adimensional, la similitud se analiza en el comportamiento de ambos sistemas. Dos sistemas, que son geométricamente similares, poseen similitud con respecto a una variable dependiente δ (por ejemplo: velocidad, presión, fuerza). Si en todos los puntos (l) y tiempos (t) correspondientes en ambos sistemas, los valores de una variable dependiente (δ), están vinculados por un factor de escala constante (λ_δ). Esto es: δ2 = λδ⋅δ1; en todos los puntos y tiempos correspondientes.

– Cuando la variable δ es una velocidad, se dice que hay similitud cinemática.

– Cuando la variable δ es una fuerza, se dice que hay similitud dinámica… Etc.

En estos casos, se utiliza un valor característico (Δ) que “valga la redundancia”, caracterice la variable dependiente en ambos sistemas: δ2/Δ1 = δ1/Δ1 => δ2 = δ1 en todos los puntos y tiempos correspondientes.

En términos adimensionales, existe similitud de comportamiento, cuando entre los dos sistemas, las variables dependientes adimensionales, son iguales en todos puntos y tiempos correspondientes. En general, existe similitud entre dos sistemas cuando se cumple que: δ2 (x*,y*,z*,t*) = δ1 (x*,y*,z*,t*)

A modo de ejemplo, analizaremos como se diseñó la ecuación en variables adimensionales para el perfil de velocidad y la velocidad media de un fluido newtoniano de densidad (ρ) y viscosidad (μ) constantes; cuando fluye con flujo laminar dentro de un conducto circular recto:

– La ecuación del perfil de velocidad en la dirección (z) es:

– La ecuación de la velocidad media es:

Para plantear la ecuación como una función característica de similitud de comportamiento, debemos reescribir el perfil de velocidad como:

Una vez definida la función característica de similitud de comportamiento, se acogen como longitud característica el diámetro (D) del tubo y como velocidad característica la velocidad media <v_z>.

Entonces: vz* = vz/<v_z> ; r* = r/D y:

Ecuación en variables adimensionales que define la condición de similitud de comportamiento para el perfil de velocidad de un fluido newtoniano que fluye dentro de un conducto cilíndrico. En otras palabras: todos los flujos laminares de fluidos newtonianos de ρ y μ constantes que fluyen en conductos circulares rectos son cinemáticamente similares, independientemente del tamaño de los conductos y de los valores de ρ y μ de los fluidos. La utilidad práctica en el diseño de utilizar ecuaciones en variables reside en que como en el ejemplo: representando un único perfil de velocidad adimensional se tiene la representación de todos los posibles perfiles de velocidad correspondientes a distintos fluidos y tamaños de conductos; siempre y cuando, éstos cumplan con las características de similitud establecidas para las variables características.

REQUISITOS PARA LOGRAR UNA SIMILITUD DE COMPORTAMIENTO

Una vez definidos los distintos tipos de similitud, es necesario analizar que requisitos deben cumplir el modelo y el prototipo para que, satisfagan las ecuaciones lineales de cambio de escala. Para ello, es necesario analizar las ecuaciones que gobiernan un sistema fluidodinámico (dinámica de fluidos):

♦ Balance microscópico de materia (ecuación de continuidad).

♦ Balance microscópico de cantidad de movimiento.

♦ Ecuación constitutiva (vinculación de esfuerzo viscoso con gradientes de velocidad).

♦ Ecuación de estado (vinculación de densidad con la presión).

♦ Condiciones de Contorno.

En el caso particular de fluidos newtonianos de ρ y μ constantes las ecuaciones gobernantes se reducen a:

♦ Balance microscópico de materia (ecuación de continuidad).

♦ Ecuación de Navier-Stokes.

♦ Condiciones de Contorno.

Ahora es posible "adimensionalizar" las ecuaciones para poder “escalar” el modelo a un prototipo.

PROCESO DE “ADIMENSIONALIZACIÓN” DE ECUACIONES

Se entiende por "adimensionalizar" las ecuaciones al proceso de reemplazar las variables independientes y dependientes que caracterizan al sistema, por variables adimensionales. La “adimensionalización” se realiza dividiendo la variable deseada, por su valor característico, o bien, por un grupo de parámetros que generen las mismas dimensiones que la variable en cuestión. Matemáticamente es posible demostrar que:

“El número de parámetros característicos necesario para realizar la adimensionalización es igual al número de dimensiones con que pueden expresarse todas las variables involucradas en el sistema”.

Para sistemas fluidodinámicos isotérmicos la totalidad de las variables involucradas pueden expresarse utilizando tres dimensiones: masa, longitud y tiempo. Por lo tanto, es necesaria una terna con esos parámetros característicos para implementar la estrategia de adimesionalización.

En la mayoría de los bioprocesos industriales la dinámica de fluidos (fluidodinámica) del sistema puede considerarse como fluidos newtonianos de ρ y μ constantes. Esto es valido para la normalidad de las temperaturas de trabajo; ya que, el rango de su variación es pequeño y por lo tanto el error puede asumirse “aceptable” para la condición de equilibrio térmico. Las ecuaciones gobernantes para sistemas fluidodinámicos con fluidos newtonianos de ρ y μ constantes son: Ecuación de Continuidad y Ecuación de Navier-Stokes. Entonces, eligiendo como terna de parámetros característicos para la adimensionalización: uno, la densidad del fluido (ρ); dos, una velocidad característica del fluido (V) y tres, una longitud (L) del sistema; se obtiene el conjunto de variables adimensionales:

El siguiente paso es reemplazar las variables adimensionales en los respectivos balances:

Despejando y multiplicando y dividiendo el último sumando por el módulo de g:

En esta etapa, puede verse como surgen naturalmente agrupaciones adimensionales (dos):

Dichas agrupaciones adimensionales involucran relaciones entre parámetros vinculados a los mecanismos de transferencia de cantidad de movimiento puestos en juego dentro del sistema fluidodinámico. El número de Reynolds (Re) vincula parámetros característicos de las fuerzas de inercia (la velocidad característica del fluido) con aquellos de las fuerzas viscosas (la viscosidad μ del fluido). El número de Fruode (Fr) vincula parámetros característicos de las fuerzas de inercia (la velocidad característica del fluido) con aquellos de las fuerzas gravitatorias. El valor que asumen estos grupos adimensionales en un momento dado, da una idea la importancia o relevancia del mecanismo puesto en juego, en la transferencia de cantidad de movimiento. Por ejemplo: para Re bajos (<2300) implica una preponderancia de las fuerzas viscosas frente a las de inercia en la transferencia de cantidad de movimiento y esto se manifiesta fluidinámicamente como un flujo laminar; caso contrario: para Re altos (>3000) implica una preponderancia de las fuerzas de inercia frente a las viscosas en la transferencia de cantidad de movimiento y esto se manifiesta fluidinámicamente como un flujo turbulento.

La adimensionalización de las condiciones de contorno, es una condición propia e intrínseca de cada sistema; pues como se indica, depende de las condiciones de contorno que definen la geometría propia de cada diseño. Eso significa que dependiendo del diseño (geometría) elegido para cada sistema (modelo) en particular; así surgirán grupos adimensionales particulares, propios y característicos para dicho diseño. Por ejemplo, cuando la geometría elegida para el diseño del modelo favorece la formación de interfases curvas con pequeños radios de curvatura; aparece un número adimensional denominado número de Weber:

Donde σ es la tensión superficial del fluido.

Recuerde que todos estos grupos adimensionales han surgido bajo la suposición de que el fluido con el que estamos trabajando es newtoniano con ρ y μ constantes. Cuando se trabaja con fluidos de otra naturaleza, se formarán otros grupos adimensionales, diferentes a los ya vistos. Por ejemplo, cuando se trabaja con fluidos compresibles, aparece el número de Mach: Mc=V/c; donde c es la velocidad del sonido en el fluido de trabajo. Lógicamente, cuando se trabaja con fluidos no newtonianos, las agrupaciones adimensionales que se forman, involucran términos, de las correspondientes ecuaciones constitutivas.

CRITERIOS DE SIMILITUD

El análisis adimensional completo de los dos sistemas y sus balances adimensionalizados requiere:

Donde: v* es la velocidad característica del fluido; p* es la presión característica; y CC indica las agrupaciones adimensionales que puedan surgir de las condiciones de contorno.

*La demostración no interesa para los efectos de este artículo.

Recordando que para lograr una similitud de comportamiento, se debe conseguir una igualdad en las distribuciones de velocidad y presión adimensionales en todos los puntos y tiempos correspondientes; entonces se cumple que, entre modelo y prototipo:

En otras palabras:

Dos sistemas geométricamente similares que cumplan con las igualdades anteriores, operarán en condiciones de similitud de comportamiento y sus variables dependientes medidas en puntos y tiempos correspondientes, estarán vinculadas por un factor de escala constante.

ESCALAMIENTO DE BIOPROCESOS INDUSTRIALES

Ya hemos visto y analizado como se desarrolla el proceso de adimesionamiento de dos sistemas: modelo y prototipo, para que tengan similitud geométrica, temporal y de comportamiento. La etapa de diseño que sigue es propiamente el desarrollo del prototipo, a partir del modelo experimental. Esto en la jerga de ingeniería se conoce como escalamiento y es simplemente el cambio de escala que se mencionó anteriormente, para llegar al sistema prototipo. El primer paso de este proceso es establecer los criterios de escalamiento que llevarán el bioproceso industrial a su etapa de prototipo.

CRITERIOS DE ESCALAMIENTO PARA BIOPROCESOS INDUSTRIALES

La elección del criterio de escalado que se aplicará, depende básicamente de la experiencia que tenga el diseñador en el bioproceso específico que se llevará a cabo. Así como en sus habilidades para el diseño.

Ø Como regla general, cuando se trabaja con microorganismos o células “sensibles”; es decir, que dependen de varios factores, tanto físicos, químicos, como biológicos y que normalmente el rango de variación que permite la regulación de estos factores, es muy pequeño o estrecho; se necesita utilizar más de un criterio de escalado.

Ø También, se acostumbra suponer que, las condiciones establecidas para el modelo (sistema de menor escala) se cumplen también para el prototipo (sistema de mayor escala) de acuerdo al criterio de conformidad por similitud.

Ø Otras suposiciones comunes son que las variables físicas y químicas del bioproceso: el pH, la temperatura, la viscosidad, etcétera, actúan y varían de la misma forma en los dos sistemas.

Ø Se debe suponer que ambos sistemas son homogéneos y que mantienen similitud geométrica.

Ø Además de la similitud geométrica, se debe mantener la similitud en el comportamiento.

REQUISITOS OPERACIONALES PARA MANTENER LA SIMILITUD DE COMPORTAMIENTO

Mantener constante:

1. *Coeficiente volumétrico de transferencia de oxígeno (kLa)

2. *Potencia de agitación por unidad de volumen (P/V ó Pg/V)

3. *Velocidad de agitación

4. *Número de Reynolds

5. *Caudal impulsado por el agitador por unidad de vol. (Q/V)

6. *Tiempos de mezcla

Ecuaciones correspodientes:

1.- Coeficiente de Transferencia de Oxígeno: (kla) => (kla)escala1 = (kla)escala2

2.- Potencia por Unidad de Volumen: (Pg/V) => (Pg/V)escala1 = (Pg/V)escala 2

3.- Velocidad Tangencial de Agitación (p N Di) => (p N Di)escala1 = (p N Di)escala2

4.- Mantención del N° de Reynold: (N Di2 r/m) => (N Di2 r/m)escala1 = (N Di2 r/m)escala2

5.- Velocidad de Bombeo de Aire: (F/V) => (F/V)escala1 = (F/V)escala2

6.- Tiempo de Mezcla: (tm) => (tm)escala1 = (tm)escala2

ECUACIONES ADIMENSIONALES PARA BIOPROCESOS INDUSTRIALES

1.- Coeficiente Volumétrico de Transferencia de Oxígeno Constante (kla)

· La condición operativa es mantener el coeficiente volumétrico de transferencia de oxígeno (kla) constante.

· Balance de Oxígeno Disuelto en el Líquido:

dC/dt = kla.H.(pS – p) – QO2.X = kla(CS – C) – QO2.X

Donde: C = concentración de oxígeno disuelto; H = constante de Henry; pS = presión parcial de oxígeno en el aire; p = presión parcial del oxígeno en el líquido; CS = concentración de saturación oxígeno en el líquido; QO2 = velocidad específica de respiración: 1/X. (dO2/dt)r; X = concentración celular (biomasa).

• Para satisfacer la demanda de oxígeno requerida por el término QO2.X debe suministrarse oxígeno según el término kla.(CS – C)

• El valor de kla característico del sistema dependerá del sistema de aireación y agitación utilizadas para el bioproceso y sus condiciones de contorno.

Tabla 1.- Valores de α y β para diferentes tamaños de biorreactores.

Tamaño Bioreactor (litros)	α	β
5	0.95	0.667
500	0.6 – 0.7	0.667
5000	0.4 – 0.5	0.500

Partiendo de que hay similitud geométrica y que el kla se mantiene constante obtenemos: kla = K.(Pg/V)a.(Vg)b Donde: α, β son constantes que dependen del tamaño del sistema (volumen) y K es un factor geométrico.

kla constante – similitud geométrica

Como se mencionó, el valor característico que adopte el kla dependerá: 1.- de que haya o no similitud geométrica y 2.- del sistema de aireación y agitación utilizados. Este ultimo efecto se ve reflejado en las constantes α y β que potencian la potencia por unidad de volumen (Pg/V) del sistema de agitación y la velocidad de bombeo de aire (Vg) del sistema de aireación. En general, cuando hay similitud geométrica y despreciando los términos de menor importancia, se pueden dar dos situaciones:

1) Que α y β No sean constantes en las diferentes escalas:

N1a2/ N2a1 = (Di2b2/ Di1b1)1/3. (Di2a2/ Di1a1)2/3

2) Que α y β Si sean constantes en las diferentes escalas:

N1/ N2 = (Di2/ Di1)2/3

Esta última ecuación siempre puede utilizarse como una primera aproximación.

kla constante – no similitud geométrica

Si no hay similitud geométrica, para utilizar el kla como criterio de escalado, la correlación deberá ser:

kL.a = K(Pg/V)a (Vg)b(B/6)0.8(J/D)0.3

Donde: B = número de paletas del agitador; J = ancho de las chicanas o deflectores (m).  

2.- Potencia de Agitación por Unidad de Volumen Constante

· La potencia transmitida por unidad de volumen de líquido (P/V) es un criterio frecuentemente utilizado para el escalado.

· La condición de similitud de comportamiento es:

(P/V)1 = (P/V)2

Dado que siempre se cumple que: Pg/V ≈ N³Di², se puede comprobar que:

N13 Di12 = N23 Di22

O sea que: N1/N2 = (Di1/Di2)2/3

Por tanto se puede concluir:

ü El valor de Di1/Di2 es la relación de la ampliación de escala.

ü El volumen es proporcional a Di³.

ü Dado un N1 se puede calcular el N2.

*Debido a que el kla depende tanto de la potencia transmitida por unidad de volumen como de la velocidad de bombeo de aire; utilizar este método como criterio de escalamiento en sistemas con cultivos aeróbicos, tiene la desventaja de que el oxígeno transferido no será exactamente el mismo, para ambos sistemas. Si la oxigenación no el factor crítico como ocurre en los sistemas con cultivos anaeróbicos, el criterio de la potencia de agitación no tiene ningún problema práctico u operacional.

3.- Velocidad de Agitación Tangencial Constante

Este criterio de escalamiento es muy utilizado cuando se trabaja con células o microorganismos “sensibles” que no soportan esfuerzos hidrodinámicos altos tales como: esquileo y esfuerzos cortantes. El número de Reynolds es el parámetro característico que define este sistema y por lo general se estable un valor característico menor a 3000 para que el flujo sea laminar o a lo máximo de transición.

· La condición operacional es mantener constante la velocidad del agitador: v a NDi.

· La condición de conformidad para lograr la similitud de comportamiento es:

v1 / v2 = (N1 Di1) / (N2 Di2) = 1

O sea que: N1 / N2 = Di2 / Di1

· Cuando también existe similitud geométrica entre los dos sistemas; el volumen (V) es proporcional a Di³ y:

N1 / N2 = (V2 / V1)1/3

*Note que este criterio se contrapone al de potencia de agitación por unidad de volumen constante; por lo que, el criterio de velocidad de agitación tangencial constante es un mal método de escalamiento y como se mencionó, casi solo se utiliza cuando hay que realizar cultivos con células o microorganismos sensibles. Otras desventajas de utilizar este criterio son da valores muy bajos de potencia de agitación y de kla, lo que no asegura una transferencia de oxígeno suficiente. Por esta razón, los biorreactores utilizados en cultivos de células sensibles de tipo aeróbico deben incorporar como parte de su diseño sistemas de difusión forzada de oxígeno disuelto en el medio líquido del cultivo.

4.- Número de Reynolds Constante

Este criterio de escalamiento únicamente se utiliza cuando debe asegurarse una similitud hidrodinámica entre los dos sistemas. Eso se aplica solamente cuando los fenómenos de difusión de ambos sistemas deben ser similares o equivalentes; por ejemplo, cuando se trabaja con células empaquetadas o inmovilizadas; por cuanto, los fenómenos difusivos através de la membrana celular son los que dirigen la nutrición y la oxigenación de las células en cultivo.

· La condición operacional es mantener el número de Reynolds constante.

· La condición de conformidad para lograr la similitud hidrodinámica es:

(N.Di2.ρ/μ)escala1 = (N.Di2.ρ/μ)escala2

*Por cuanto la única conformidad que exige este criterio es mantener el número de Reynolds constante.

5.- Velocidad de Bombeo de Aire Constante

Este criterio de escalamiento asegura que la aireación de los sistemas sea suficiente, más bien, elevada; lo cual no asegura que la transferencia de oxigeno, sea la adecuada; eso se debe verificar experimentalmente. De lo anterior que el criterio de velocidad de bombeo por aire constante se utilice solo para el escalamiento de sistemas aireados como biorreactores de levantamiento por aire (air lift) o plantas de lodos activados.

· La condición operacional es mantener la taza de bombeo de aire constante: (F/V) a N.

· La condición de conformidad para lograr la similitud de comportamiento es:

(N)escala1 = (N)escala2

*Eso por cuanto, siempre se cumple que la razón de bombeo de aire es proporcional a la velocidad de agitación.

6.- Tiempo de Mezcla (tm) Constante

El tiempo de mezcla constante es el único criterio de escalamiento que se basa en la similitud temporal entre ambos sistemas: modelo y prototipo. Esto no es fortuito, lograr un similitud en el tiempo de todos los valores característicos de ambos sistemas es una situación difícil de manejar y de modelar.

· La condición operacional es mantener constante el tiempo de mezcla ™

· Empleando técnicas de análisis dimensional; Fox y Gex (1956) llegaron a una ecuación para el tiempo de mezcla: 

Jt = tM (N Di2)2/3 g1/6 Di1/2 Hl-1/2 Dt-3/2  Re ( para Re > 105)

Donde: Jt = una función del tiempo de mezcla; tm = tiempo experimental de mezcla; Hl = altura de la columna de líquido; Dt = diámetro del bioreactor (sistema).

· Cuando también existe similitud geométrica entre los dos sistemas: tm1 = tm2 y:

(tM1 / tM2) = (N24 Di1 / N14 Di2)1/6 = 1 O sea que: N2 / N1 = (Di2 / Dt1)1/4

*Observe que al relacionar este criterio con el de agitación por unidad de volumen constante, se comprueba que con el primero se obtiene una potencia mucho más alta, que la requerida o demandada por el segundo. Es por eso que el criterio de tiempo de mezcla constante solo se utiliza con el cultivo o microorganismo soporta esfuerzos hidronímicos altos en régimen de agitación turbulenta; lo que se conoce como una mezcla perfecta.

7.- Caudal Impulsado por el Agitador por Unidad de Volumen (Q/V) Constante

Existe otro criterio de escalamiento algo similar al de velocidad de bombeo de aire constante; el de caudal impulsado por el agitador por unidad de volumen (Q/V) constante.

· La condición operacional es: (Q/V) a NI

O sea que: P a (r N3 Di5)

· La condición de conformidad para lograr la similitud de comportamiento es:

P1/ P2 = r Ni3 Di15 / r N23 Di25

Como (Q/V) es constante, N es constante; entonces:

P1/ P2 = (Di1 / Di2)5

*Este criterio también conduce a potencias por unidad de volumen superior a los necesarios.

Bibliografía

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